Метод наименьших квадратов и поиск решения в Excel

Ну вот, на работе перед инспекцией отчитались, статья дома для конференции написана — можно теперь и в блог писать. Пока данные свои обрабатывал, понял, что не могу не написать про очень классную и нужную надстройку в  Excel, которая называется «поиск решения». Так что статья будет посвящена именно этой надстройке, и расскажу я  о ней на примере использования метода наименьших квадратов (МНК) для поиска неизвестных коэффициентов уравнения при описании экспериментальных данных.

Как включить надстройку «поиск решения»

Для начала разберемся, как эту надстройку включить.

1. Идем в меню «Файл» и выбираем пункт «Параметры Excel»

поиск решения

2. В появившемся окне выбираем «Поиск решения» и нажимаем «перейти».

поиск решения

3. В следующем окне ставим галочку напротив пункта «поиск решения» и нажимаем «ОК».

поиск решения

4. Надстройка активирована — теперь ее можно найти в пункте меню «Данные».

 

Метод наименьших квадратов

Теперь вкратце о методе наименьших квадратов (МНК) и о том, где его можно применять.

Допустим, у нас есть набор данных после совершения нами какого-то эксперимента, где мы изучали влияния величины Х на величину Y.

Мы хотим это влияние описать математически, чтобы потом этой формулой пользоваться и знать, что, если мы поменяем величину Х на столько-то , получим величину Y такую-то...

Возьму супер-простой пример (см. рис.).

поиск решения

Ежу понятно, что точки расположились друг за другом как будто по прямой, а потому мы смело предполагаем, что наша зависимость описывается линейной функцией y=kx+b. При этом мы точно уверены, что при X равном нулю значение Y тоже равно нулю. Значит, функция, описывающая зависимость, будет еще проще: y=kx (вспоминаем школьную программу).

В общем, нам предстоит найти коэффициент k. Вот это мы и сделаем с помощью МНК с применением надстройки «поиск решения».

Метод заключается в том, чтобы (здесь — внимание: нужно вдуматься) сумма квадратов разностей экспериментально полученных и соответствующих расчетных значений была минимальной. То есть когда X1=1 реально измеренное  значение Y1=4,6, а расчетное y1=f (x1) равно 4, квадрат разности будет (y1-Y1)^2=(4-4,6)^2=0,36. Со следующими так же: когда X2=2, реально измеренное  значение Y2=8,1, а расчетное у2 равно 8, квадрат разности будет (y2-Y2)^2=(8-8,1)^2=0,01. И сумма всех этих квадратов должна быть минимально возможной.

поиск решения

Итак, приступим к тренировке по использованию МНК и надстройки Excel «поиск решения».



style="display:inline-block;width:468px;height:60px"
data-ad-client="ca-pub-9341405937949877"
data-ad-slot="7116308946">


Применение надстройки поиск решения

1. Если не включили надстройку «поиск решения», то возвращаемся к пункту Как включить надстройку «поиск решения» и включаем 🙂

2. В ячейку А1 введем значение «1». Эта единица будет первым приближением к реальному значению коэффициента (k) нашей функциональной зависимости y=kx.

3. В столбце B у нас расположились значения параметра X, в столбце C — значения параметра Y. В ячейках столбца D вводим формулу: «коэффициент k умножить на значение Х». Например, в ячейке D1 вводим «=A1*B1»,  в ячейке D2 вводим  "=A1*B2" и т.д.

поиск решения

4. Мы считаем, что коэффициент к равен единице и функция f (x)=у=1*х – это первое приближение к нашему решению. Можем рассчитать сумму квадратов разностей между измеренными значениями величины Y и рассчитанными по формуле y=1*х . Можем все это сделать вручную, вбивая  в формулу соответствующие ссылки на ячейки: "=(D2-C2)^2+(D3-C3)^2+(D4-C4)^2... и т.д. В конце концов ошибаемся и понимаем, что потеряли кучу времени. В Excel для расчета суммы квадратов разностей есть специальная формула, «СУММКВРАЗН», которая все за нас и сделает. Введем ее в ячейку А2 и зададим исходные данные: диапазон измеренных значений Y (столбец C) и диапазон рассчитанных значений Y (столбец D).

поиск решения

4. Сумму разностей квадратов рассчитали – теперь идем во вкладку «Данные» и выбираем «Поиск решения».

5. В появившемся меню в качестве изменяемой ячейки выбираем ячейку A1 (та, что с коэффициентом k).

6. В качестве целевой выбираем ячейку A2 и задаем условие «установить равной минимальному значению». Помним, что это ячейка, где у нас производится расчёт суммы квадратов разностей расчетного и измеренного значений, и сумма эта должна быть минимальной. Нажимаем «выполнить».

поиск решения

7. Коэффициент k подобран. Теперь можно убедиться, что рассчитанные значения теперь очень близки к измеренным.

P.S.

Вообще, конечно, для аппроксимации экспериментальных данных в Excel существуют специальные инструменты, которые позволяют осуществлять описание данных с помощью линейной, экспоненциальной, степенной и полиномиальной функцией, поэтому часто можно обойтись и без надстройки «поиск решения». Обо всех этих способах апппроксимации  я рассказывал в своем бесплатном курсе по Excel: «10 инструментов Excel для быстрого анализа данных», так что если интересно, скачайте — посмотрите. А вот когда дело касается какой-нибудь экзотической функции с одним неизвестным коэффициентом или задач оптимизации, то здесь надстройка «поиск решения» как нельзя кстати.

Надстройку «поиск решения» можно использовать и для других задач, главное — понять суть: есть ячейка, где мы подбираем значение, а есть целевая ячейка, в которой задано условие для подбора неизвестного параметра.
Вот и все! В следующей статье расскажу сказку про отпуск, так что, чтобы не проворонить выход статьи, подписывайтесь на обновления блога.

Пока!

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Рубрика: Анализ данных в Excel. Метки: . Добавьте постоянную ссылку на эту страницу в закладки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *