Численное дифференцирование в Excel

Для решения  многих инженерных задач часто требуется вычисление производных. Когда есть формула, описывающая процесс, сложностей никаких нет: берем формулу и вычисляем производную, как учили еще в школе, находим значения производной в разных точках, и всё. Сложность, наверное, только в этом и состоит, чтобы вспомнить, как вычислять производные. А как быть, если у нас есть только несколько сотен или тысяч строк с данными, а никакой формулы нет? Чаще всего именно так на практике и бывает. Предлагаю два способа.

Первый заключается в том, что мы наш набор точек аппроксимируем стандартной функцией Excel, то есть подбираем функцию, которая лучше всего ложится на наши точки (в Excel это линейная функция, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная и степенная). Второй способ – численное дифференцирование, для которого нам нужно будет только умение вводить формулы.

Вспомним, что такое производная вообще:

Производной функции f (x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:


Вот и воспользуемся этим знанием: будем просто брать для расчета производной очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.

Для того, чтобы найти приближённое значение производной в нужных нам точках (а у нас точки – это различные значения степени деформации ε) можно поступить вот как. Посмотрим еще раз на определение производной  и видим, что при использовании малых значений приращения аргумента Δε (то есть малых приращений степени деформации, которые регистрируются при испытаниях) можно заменить значение реальной производной в точке x0 (f’(x0)=dy/dx (x0)) на отношение Δy/Δx=(f (x0+ Δx) – f (x0))/Δx.

То есть вот что получается:

f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f (x0))/Δx          (1)

Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε0 по горизонтальной оси, а вторая с координатой x0 + Δx, т.е. одна – производную в которой вычисляем и та, что поправее. Вычисленная таким образом производная называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δx.

Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x0 — Δx и x0, т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом — Δx.

f’(x0) ≈(f (x0) – f (x0— Δx))/Δx          (2)

Предыдущие формулы были «левые» и «правые», а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:

f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f (x0— Δx))/2Δx          (3)

Для проверки формулы рассмотрим простой пример с известной функцией y=x3. Построим таблицу в Excel с двумя с столбцами: x и y, а затем построим график по имеющимся точкам.

Производная функции y=x3 это y=3x2, график которой, т.е. параболу, мы и должны получить с использованием наших формул.



style="display:inline-block;width:320px;height:100px"
data-ad-client="ca-pub-9341405937949877"
data-ad-slot="7535111348">


Попробуем вычислить значения центральной разностной производной в точках х. Для этого. В ячейке второй строки нашей таблицы забиваем нашу формулу (3), т.е. следующую формулу в Excel:

Далее, воспользовавшись автозаполнением, копируем эту формулу во все нижние ячейки (тянем за нижнюю правую часть прямоугольника, который указывает на текущую ячейку):

Теперь строим график с использованием уже имеющихся значений х и полученных значений центральной разностной производной:

А вот и наша красненькая парабола! Значит, формула работает!

 

Ну а теперь можем перейти к конкретной инженерной задаче, про которую говорили в начале статьи – к нахождению изменения dσ/dε с увеличением деформации. Первая производная кривой «напряжение-деформация» σ=f (ε) в зарубежной литературе называется «скорость упрочнения» (strain hardening rate),а в нашей – «коэффициент упрочнения». Итак, в результате испытаний мы имеем массив данных, которой состоит из двух столбцов: один — со значениями  деформаций ε и другой – со значениями напряжений  σ в МПа. Возьмем холодную деформацию стали 1035 или наша 40Г (см. таблицу аналогов сталей) при 20°С.

C Mn P S Si N
0.36 0.69 0.025 0.032 0.27 0.004

Вот наша кривая в координатах «истинное напряжение — истинная деформация» σ-ε:


Действуем так же, как и в предыдущем примере и получаем вот такую кривую:

Это и есть изменение скорости упрочнения по ходу деформации. Что с ней делать, это уже отдельный вопрос.

На этом все на сегодня.

Подписаться на обновления блога.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Рубрика: Анализ данных в Excel. Метки: . Добавьте постоянную ссылку на эту страницу в закладки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *